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章中之切于日用者，悉以比例驭之，汇为十二种。以各定率冠首，以借根方继后，以诸乘方开法附末，凡四卷，曰比例汇通，虽悔其少作，实便初学问途。
后见四元玉鉴，服膺叹绝，遂壹意专精四元之术。士琳博文强识，兼综百家，于古今算法尤具神解，以硃氏此书实集算学大成，思通行发明，乃殚精一纪，步为全草，并有原书于率不通及步算传写之譌，悉为标出，补漏正误，反覆设例，申明疑义，推演订证。就原书三卷二十有四门，广为二十四卷，门各补草。
尝为提要钩元之论，谓：“是书通体弗出九章范围，不独商功修筑、句股测望、方程正负已也。如端匹互隐、廪粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛叠藏，如像招数寓商功中之差分，直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分，方员交错、三率究员、箭积交参之为定率兼交互。至于或问歌彖、杂范类会，以其各自为法，不能比类。故一则寄诸歌词，一则编成杂法，均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问，每门必备此例，略简易而详繁难，尤于自来算书所无者，必设二问以明之。如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金田，锁套吞容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠藏两设员锥垛，杂范类会既设徽率割员，又设密率割员是矣。更有一门专明一义者，如和分索隐之分开方，三率究员两仪合辙之反覆互求是矣。是书但云如积求之，如积有用定率为同数相消者，有如问加减乘除得积为同数相消者。祖序谓：‘平水刘汝谐撰如积释锁，惜今不传。’意者其释此例欤？”
道光中，得硃氏算学启蒙于京师厂肆，士琳复加斠诠刊布之。此书总二十门，凡二百五十九问，其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠，始于天元，终于四元，义主精邃，所得甚深。考大德四年莫若序，计后此书四年。此书首列乘除布算诸例，始于超径等接之术，终于天元如积开方，由浅近以至通变，循序渐进，其理易知。名曰启蒙，实则为玉鉴立术之根，此一证也。玉鉴原本十行，行十九字“今有”低一格“术曰”又低二格，与此书同，此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“？”此假借字，本汉书平帝纪及管子乘马篇，尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经，钧石之“石”说文本作“柘”玉鉴作“硕”“硕”“石”古虽互通，然假“硕”为“石”则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志，而算书罕见，又玉鉴？田之“？”虽见李籍九章音义，为字书所无，此书并同，此三证也。玉鉴虽亦三卷，而门则为二十四，问则二百八十八，较多此书四门二十九问，然以四字分类，其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属，则又二书互见，此四证也。玉鉴如意混和第一问，据数知一秤为十五斤，適与此书之斤秤起率合，此五证也。玉鉴锁套吞容第九问，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问，有小平小长，皆向无其术。此书卷首明乘除段，即载平除长为小长，长除平为小平之例。其田亩形段第十五问，复载方五斜七八角田求积通术，此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问，与此书盈不足术第七问，又玉鉴果垛叠藏第十四问，与此书堆积还原第十四问，又玉鉴方程正负第四问，与此书方程正负第五问，题皆约略相同，此七证也。知系硃氏原书佚而复出，并其算法一则，亦为附列，间有鱼豕，悉仍其旧，但各标识于误字旁，别记刊误于卷末。
又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表，一度十三分二十秒正切第五字“0”误“一”；又六度四十一分十秒正切第五字“0”误“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“0”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”可见西人所能，中人亦能之。
又因会通四元玉鉴如像招数一门，更取明氏捷法，御以天元，知密率亦可招差，其弧与弦矢互求之法，与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传，其法廑见于秦书，即大衍之连环求等递减递加，亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意，撰缀术辑补二卷。
又甄录古今畴人，仍阮氏体例为列传，采前传所未收者，得补遗十二人，附见五人，续补二十人，附见七人，合共四十有四人，次于前传四十六卷之后。
集所校著都为观我生室汇？十二种。如四元玉鉴细草二十四卷，释例二卷，校正算学启蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，续畴人传六卷，皆别有单行本。
外已刻者尚得七种，曰句股容三事拾遗三卷，附例一卷，本绘亭监副博启法补其遗，取内容方边员径垂线交互相求，一以天元驭之。曰三角和较算例一卷，取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法，用和较推演成式。曰演元九式一卷，括玉鉴中进退消长诸例，借无数之数，以正负开方式入之。曰台锥积演一卷，以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙，爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷，以四分周术佐以三统汉术，推得宣王十有六年九月既望甲戌，与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷，以元和李四香原术未备，为增补二十七术，合成四十术。曰推算日食增广新术一卷，推广正升斜升横升之算法，以求太阴随地随时之明魄方向分秒，复推其术，以求交食限内之方向，及所经历之诸边分。
馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话，凡若干卷，未有刻本。其同县友有易之瀚者，亦以算名。
易之瀚，字浩川。知士琳有四元玉鉴补草，因从问难，为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则，天元例十一则，四元例十三则。
顾观光，字尚之，金山人。太学生，三试不售，遂无志科举，承世业为医。乡钱氏多藏书，恆假读之。博通经、传、史、子、百家，尤究极天文历算，因端竟委，能抉其所以然，而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙，蒐补其未备。如据周髀“笠以写天，青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云，而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员，以视法变为平员，则不得不以北极为心，而内外衡以次环之，皆为借象，而非真以平员测天也。
开元占经鲁历积年之算不合，因用演积术，推其上元庚子至开元二年岁积，知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪，知其术虽起立春，而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首，闰在岁终，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家，以为未能推算入微。爰别立术，以日法朔馀？展转相减，以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求，惟朔馀过于强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩，梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差，彼此递减，必得一齐同之数。引而伸之，即诸乘差，则八线、对数、小轮、橢员诸术，皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术，知回回、太西历法皆源于此。其所谓高月者即月孛，月藏者即月引数，日藏者即日引数，特称名不同，亦犹回历称岁实为宫日数，朔策为月分日数也。
其论婺源江氏冬至权度，推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度，而后求两心差，乃专用壬戌。今用丁未求得两心差，適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端，其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距，术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距，不必更资实朔，较本法为简而密矣。
西人割圜，止知内容各等边之半为正弦，而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术，别立求外切各等边之正切法，以补其缺。杜德美求员周术，用员内容六边形起算，巧而降位稍迟，谓内容十等边之一边，即理分中末线之大分，距周较近。且十边形之边与周同数，不过递进一位，而大分与全分相减即得小分，则连比例各率，可以较数取之。入算尤简易，可用弧度入算，不用弧背真数。然犹虑其难记，仍不能无藉于表，因又合两法用之，则术愈简，而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术，止有弦矢求馀线术，以为可通之割、切二线，因补其术。西人求对数，以正数屡次开方，对数屡次折半，立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆，捷矣，而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较，可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙，又有新术，而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数，因任意设数，立六术以御之，得数皆合。复立还原四术，并推衍为和较相求八术，为自来言对数者所未有也。又谓对数之用，莫便于八线，而西人未言其立表之根，因冥思力索，仍用诸乘方差，迎刃而解，尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术，如代数、微分、诸重学，皆有所纠正，类此。
所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古，依九章分为九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉，皆采古书而分门隶之。曰九数外录，则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学，凡记十篇。曰六历通考，则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解，曰回回历解，皆就原法疏通证明之。曰推步简法，曰新历推步简法，曰五星简法，则就原术改度为百分，省迂回而归简易，盖于学实事求是，无门户异同之见，故析理甚精，而谈算为最云。其友人韩应陛，亦以表章算书显。
应陛，字对虞，娄县人。道光二十四年举人，官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子，为文古质简奥，非时俗所尚。既而从同里姚椿游，得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学，为几何原本，凡十五卷，明万历间利译止前六卷。咸丰初，英人伟烈亚力续译后九卷，海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订，授之剞劂，亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学，应陛推极其致，往往为西人所未及云。
左潜，字壬叔，大学士宗棠从子。补县学生。于诗、古文辞无不深造，尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒，士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法，无不贯通。且能自出己意，变其式，勘其误，作为图解，往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术，既成，忽悟通分捷法析分母、分子为极小数，根同者去之，凡多项通分，顷刻立就。因演数草，为通分捷法一帙。
所譔缀术补草四卷，自序曰：“自泰西杜德美创立割圜九术，以屡乘屡除通方圜之率，我朝明氏、董氏各为之说，而杜书之义，推阐靡遗。顾八线互求，尚无通术，未足以尽一圜之变，非明氏、董氏之智力，不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也，资于借根方；其不能广杜氏之法也，亦限于借根方。盖借根方即天元一之变术，究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明，又旁参以董氏之法，八线相求，各立一式，因式立法，因法入算。乡之不可立算者，今皆能驭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，则能济法之穷；而度圜诸线，一以贯之矣。推其立式之由，所谓比例术，即明氏定半径为一率，所有为二率或三率之法也。所谓还原术，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所谓借径术，即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数，求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法，又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏，而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者，以借根方取两等数，其分母、分子杂糅繁重，既不可通，其多号、少号，？展转互变，又不可约。试取明氏书驭之以缀术，其递降各率，顷刻可求。则是书也，其真能因法立法，别树帜于明、董之后者欤？书为徐君青先生所作，吴君子登成之，顾详于式而略于草。敬考其立法之原，不可遽得，学者难焉，潜因于暇日为补草四卷，因缀数语于简端云。”
又譔缀术释明二卷，湘乡曾纪鸿为之序，略曰：“易系云：‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定，莫数若矣。在昔圣神，制器尚象，利物前民，于数理必有究极精微，范围后世者，代久年湮，渐至失传。近三百年，泰西犹能推阐古法，而中国才智之士，或反率其成辙。孔子曰：‘天子失官，学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术，而未标角度八线钤表，则虽有用其理以入算者，而无表可检。则每求一数，必百倍其功，而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表，覈其立法得数之原，甚属繁难，而成表之后，一劳永逸。大至无外，细及极微，莫不以此表测之，则其用之广大可想。然得表之后，虽无事于再求，而任举一数，无从较其讹误。若仍用旧术，则非月经旬，不能得一数，此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者，例用六宗、三耍、二简各法，若任言一弧，必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法，则但有弧径，而八线均可求。董方立解杜术，先取其线之极微者，令与与弧线合，而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合，故用尖锥以释弧矢，而弧矢之数理以显。明静菴解杜术，先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者，用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者，考其乘除之率数，与杜术乘除之原理合，故用缀术以释弧矢，而弧矢之数理亦出。董、明二氏，均为弧矢不祧之宗，无庸轩轾。迩百年中继起者，如戴、徐、李三氏所著书，虽自出心裁，要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟，于数学尤孜孜不倦，遇有疑难，必穷力追索，务洞澈其奥窔。尝谓方员之理，乃天地自然之数，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术，又释戴鄂士求表捷术，兹又释明静菴弧矢捷术，而一贯以天元寄分之式，于员率一道三致意焉，可谓勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟于甲戌秋不永年而逝，凡在同人，无不叹惜！况余与之为两世神交，安能无怆切耶！”
曾纪鸿，字栗诚，大学士国籓少子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学，与兄纪泽并精算术，尤神明于西人代数术。锐思勇进，创立新法，同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求，依题演之，理正相通，撰对数详解五卷，始明代数之理，为不知代数者开其先路。中言对数之理，末言对数之用，明作书之本意。其于常对、讷对，辨析分明。先求得各真数之讷对，复以对数根乘之，即为常对数。级数朗然，有条不紊，虽初学循序渐进，无不可相说以解焉。
夏鸾翔，字紫笙，钱塘人。以输饷议叙，得詹事府主簿。为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术，洞悉员出于方之理。汇通各法，推演以尽其变，譔洞方术图解二卷，自序略曰：“自杜氏术出，而求弦矢得捷径焉。顾犹烦乘除，演算终不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都门，细思连比例术者，尖堆底也。尖堆底之比例，与诸乘方之比例等。以之求连比例术，必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故，方积何能并求？且并求方积而欲以加减代乘除，又必得诸较自然之数而后可，诚极难矣。既而悟曰，方积之递加，加以较也。较之递生，生于三角堆也。较加较而成积，亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数，数异而理同。三角堆起于三角形，故屡次增乘，皆增以三角。方积起于正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之较数，增一根则增一较；方积之较数，增一乘则增一较，理正同也。累次相较，较必有尽，惟其有尽，乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者，正此理矣。诸较之理，皆起于天元一，而生于根差。递加根一，诸乘方根差皆一。一乘之数不变，故可省乘。若增其根差，非复单一，则乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧线当根差，按根递求，即可尽得诸乘方之较。以较加较，即尽得所求弦矢各数矣，岂不捷哉！爰演为求弦矢术，俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义，以俟精于术数者采择。”
又譔致曲术一卷，曰平员，曰橢员，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。类皆自定新术，参差并列，法密理精。复著致曲图解一卷，谓天为大员，天之赋物，莫不以员。顾员虽一名，形乃万类。循员一匝，而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类，一次式为直线；二次式有平员、橢员、抛物线、双曲线四式；三次式有八十种；四次式有五千馀种；五次以上，殆难以数计矣。今但二次式四种，溯其本源，并附解诸乘方。抛物线形虽万殊，理实一贯。诸曲线式备具于员锥体，员锥者，二次曲线之母也。橢员利用聚，抛物线利用远，双曲线利用散，其理皆出于平员。苟会其通，则制器尚象，仰观俯察，为用无穷矣。今为一一解之，其目为诸曲线始于一点终于一点第一，诸式之心第二，准线第三，规线第四，横直二径第五，兑径亦名相属二径第六，两心差第七，法线切线第八，斜规线又名曲率径第九，纵横线式第十，诸式互为比例第十一，八线第十二。
又尝立捷术以开各乘方，不论益积、翻积，通为一术，俱为坦途，可径求平方根数十位，成少广縋凿一卷。
鸾翔同治三年卒。因方积之较而悟求求弦矢之术，骎骎乎驾西人而上之，然微分所弃之常数，犹方积之方与隅也。所求之变数，犹两廉递加之较也。其术施之曲线，无所不通，鸾翔犹待逐类立术，是则不能不让西人以独步。然西法开方，自三次式以上，皆枝枝节节为之，不及中法之一贯。鸾翔又于中法外独创捷术，非西人所能望其项背云。
邹伯奇，字特夫，南海诸生。聪敏绝世，覃思声音文字度数之源。尤精天文历算，能荟萃中、西之说而贯通之，静极生明，多具神解。尝作春秋经传日月考，谓：“昔人考春秋者多矣，类以经、传日月求之，未能精确。今以时宪术上推二百四十二年之朔闰及食限，然后以经、传所书，质其合否，乃知有经误、传误及术误之分。”又谓：“尚书克殷年月，郑玄据乾凿度，以入戊午蔀四十二年克殷，下至春秋，凡三百四十八年。刘歆三统术以为积四百年，近人钱塘李锐皆主其说。今以时宪术上推，且以岁星验之，始知郑是刘非。”其解孟子“由周而来，七百有馀岁”句，谓阎百诗孟子生卒年月考据大事记及通鉴纲目，以孟子致为臣而归在周赧王元年丁未，逆数至武王有天下，岁在己卯，当得八百有九年。然周共和以上年数，史迁已不能纪，可考者鲁世家耳，此为刘歆历谱所据。然将歆谱与史记比对，歆于炀公、献公等年分多所加，共计五十二。若减其所加，则歆所谓八百有九年者，实七百五十七年耳。
又谓向来注经者，于算学不尽精通，故解三礼制度多疏失，因作深衣考，以订江永之谬。作戈戟考，以指程瑶田之疏。以文选景福殿赋“阳马承阿”证古宫室阿栋之制。以体积论樐氏为量，以重心论悬磬之形，皆绘图立说，援引详明。
又尝谓群经注疏引算术未能简要，甄鸾五经算术既多疏略，王伯厚六经天文篇博引传注，亦无辨证。因即经义中有关于天文、算术，为先儒所未发，或发而未阐明者，随时录出，成学计一得二卷。
天象著甲寅恆星表、赤道星图、黄道星图各一卷，自序略曰：“甲寅春，制浑球，以考证经史恆星出没历代岁差之故。然制器必先绘图，绘图必先立表，此恆星表之所由作也。史、汉、晋、隋诸志，于恆星但言部位，至唐、宋始略有去极度数，盖旧传新图，大抵据步天歌意想为之，与天象不符。国朝康熙初，南怀仁作灵台仪象志，然后黄、赤经、纬各列为表。乾隆九年，增修仪象考成，补正缺误。道光甲辰，再加考测，为仪象考成续编，入表正座一千四百四十九星，外增一千七百九十一星，洵为明备。今逾十载，岁渐有差，故复据现时推测立表，庶绘图制器密合天行也。”
又谓：“绘地难于算天，天文可坐而推，地理必须亲历。近人不知古法，故疏舛失实。因考求地理沿革，为历代地图，以补史书地志之缺。”
又手摹皇舆全图，自序略曰：“地图以天度画方，至当不易。地球经纬相交皆正角，而世传舆图，至边地竟成斜方形，殊失绘图原理，其蔽在以纬度为直线也。昔尝为小总图，依浑盖仪，用半度切线，以显迹象。然州县不备，且内密外疏，容与实数不符，故复为此图。其格纬度无盈缩，而经度渐狭，相视皆为半径与馀弦之比例。横九幅，纵十一幅，合成地球滂沱四颓之形，欲使所绘之图与地相肖也。
又变西人之旧，作地球正变两面全图，其序略曰：“地形浑员，上应天度，经纬皆为员线。作图者绘浑于平，须用法调剂，方不失其形似。然视法有三，其一在员外视员，法用正弦，则经圈为橢员，纬圈为直线，其形中广旁狭，作简平仪用之。其一在员心视员，法用正切，则经圈为直线，纬圈为弧线，其形中曲旁杀，内密外疏，作日晷用之。斯二者，线无定式，量算繁难。且经纬相交，不成正角。其边际或太促褊，或太展长，以画地球，既昧方斜本形，复失修广实数，所不取也。其一在员周视员，法用半切线，经纬圈皆为平员，虽亦内密外疏，而各能自相比例，西人以此作浑盖仪，最为理精法密。今本之为地球图，分正背两面。正面以京师为中线，其背面之中，即为京师对冲之处，尊首都也。旁分二十四向，审中土与各国彼此之势，定准望也。经纬俱以十度为一格，设分率也。”
因推演其法，著测量备要四卷，分备物致用、按度考数二题。备物致用其目四：一丈量器，曰插标、曰线架、曰指南尺、曰曲尺、曰丈竹、曰竹筹、曰皮活尺、曰蕃纸簿、曰铅笔；二测望仪，曰指南分率尺、曰立望表、曰三脚架、曰矩尺、曰地平经仪、曰平水准、曰纪限仪、曰回光环、曰折照玻璃屋、曰千里镜、曰象限仪、曰秒分时辰标、曰行海时辰标、曰析分大日晷、日风雨针、曰寒暑针；三检覈书，曰志书、曰地图、曰星表、曰星图、曰度算版、曰对数尺、曰八线表、曰八线对数表、曰十进对数表，曰现年行海通书、曰清蒙气差表、曰太阳纬度表、曰日晷时差表、曰句陈四游表、曰大星经纬表、曰对数较表、曰对数较差表；四画图具，曰大小幅纸、曰砚、曰墨、曰硃、曰颜色料、曰笔、曰五色铅笔、曰笔壳、曰指南分率矩尺、曰长短界尺、曰平行尺、曰分微尺、曰机翦、曰交连比例规、曰玻璃片、曰橡皮。
按度考数其目四：一明数，曰尺度考、曰亩法、曰里法、曰方向法、曰经纬里数；二步量，曰量田计积、曰步地远近、曰记方向曲折、曰认山形、曰准望所见；三测算，曰测量方向远近法、曰测地纬度法、曰论平阳大海地平界角、曰测地经度法、曰经纬方向里数互求法；四布图，曰正纸幅、曰定分率、曰缩展、曰识别设色。
又因修改对数表之根求析小术，是开极多乘方法，可径求自然对数，即讷对数，以十进对数根乘之即得十进对数，著乘方捷术三卷。
又创对数尺，盖因西人对数表而变通其用，画数于两尺，相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数。一曰形制，二曰界画，三曰致用，四曰诸善，五曰图式，为记一卷。
又尝撰格术补一卷，同郡陈澧序之，略曰：“格术补者，古算家有格术，久亡，而吾友邹徵君特夫补之也。格术之名，见梦溪笔谈，其说云：‘阳燧照物，迫之则正，渐远则无所见，过此则倒，中间有碍故也。如人摇舻，臬为之碍，本末相格，算家谓之格术。’又云：‘阳燧面洼，向日照之，则光聚向内，离镜一二寸，聚为一点，著物火发。’笔谈之说，皆格术之根源也。宋以前盖有推演为算书者，后世失传，遂无有知此术者。徵君得笔谈之说，观日光之景，推求数理，穷极微眇，知西人制镜之法皆出于此。乃为书一卷，以补古算家之术。盖古所谓阳燧者，铸金以为镜也，西洋铁镜，即阳燧，玻璃为镜，亦同此理。故推阳燧之理，可以贯而通之。有此书而古算家失传之法复明，可知西人制器之法，实古算家所有，此今世之奇书也。至若古算失传，如此者当复不少，吾又因此而感慨系之矣！”
同治三年，郭嵩焘特疏荐之，坚以疾辞。曾国籓督两江日，欲以上海机器局旁设书院，延伯奇以数学教授生徒，亦未就。八年五月，卒，年五十有一。
李善兰，字壬叔，海宁人。诸生。从陈奂受经，于算术好之独深。十岁即通九章，后得测圆海镜、句股割圜记，学益进。疑割圜法非自然，精思得其理。尝谓道有一贯，艺亦然。测圆海镜每题皆有法有草，法者，本题之法也；草者，用立天元一曲折以求本题之法，乃造法之法，法之源也。算术大至躔离交食，细至米盐琐碎，其法至繁，以立天元一演之，莫不能得其法。故立天元一者，算学中之一贯也。并时明算如钱塘戴煦，南汇张文虎，乌程徐有壬、汪曰桢，归安张福僖，皆相友善。咸丰初，客上海，识英吉利伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人，伟烈亚力精天算，通华言。善兰以欧几里几何原本十三卷、续二卷，明时译得六卷，因与伟烈亚力同译后九卷，西士精通几何者尟，其第十卷尤玄奥，未易解，譌夺甚多，善兰笔受时，辄以意匡补。译成，伟烈亚力叹曰：“西士他日欲得善本，当求诸中国也！”
伟烈亚力又言美国天算名家罗密士尝取代数、微分、积分合为一书，分款设题，较若列眉，复与善兰同译之，名曰代微积拾级十八卷。代数变天元、四元，别为新法，微分、积分二术，又借径于代数，实中土未有之奇秘。善兰随体剖析自然，得力于海镜为多。
粤匪陷吴、越，依曾国籓军中。同治七年，用巡抚郭嵩焘荐，徵入同文馆，充算学总教习、总理衙门章京，授户部郎中、三品卿衔。课同文馆生以海镜，而以代数演之，合中、西为一法，成就甚众。光绪十年，卒于官，年垂七十。
善兰聪彊绝人，其于算，能执理之至简，驭数至繁，故衍之无不可通之数，抉之即无不可穷之理。所著则古昔斋算学，详艺文志。世谓梅文鼎悟借根之出天元，善兰能变四元而为代数，盖梅氏后一人云。
华衡芳，字若汀，金匮人。能文善算，著有行素轩算学行世。其笔谈一书，犹为生平精力所聚。凡十二卷，第一卷论加、减、乘、除之理；第二卷论通分之理；第三卷论十分数；第四卷论开方之理；第五卷论看题、驭题之法，以明加、减、乘、除、通分、开方之用；第六卷论天元及天元开方；第七卷论方程之术，已寓四元之意，末乃专论四元；第八卷论代数释号及等式；第九卷论代数中助变之数及虚代之法；第十卷论微分；第十一卷论积分，分十六款以明之；第十二卷一论各种算学不外乎加、减、乘、除，二论一切算稿宜笔之于书，三论算学中可以著书之事，四论学算与著书并非两事，五论繙算学之书，六论畴人传当再续。综计自加、减、乘、除、通分以至微分、积分，由浅入深，术本繁难，而括之以简易之旨；理本艰深，而写之以浅显之词。
又于同治十三年，与英士傅兰雅共译代数术二十五卷，衡芳序之曰：“代数之术，其已知、未知之数，皆代之以字，而乘、除、加、减各有记号，以为区别，可如题之曲折以相赴。迨夫层累已明，阶级已见，乃以所代之数入之，而所求之数出焉。故可以省算学之工，而心亦较逸，以其可不假思索而得也。虽然，代数之术诚简便矣，试问工此术者，遂能不病其繁乎？则又不能也。夫人之用心，日进而不已，苟不至昏眊迷乱，必不肯终辍。故始则因繁而求简，及其既简也，必更进焉，而复遇其繁，虽迭代数十次，其能免哉？自是知代数之意，乃为数学中钩深索隐之用，非为浅近之算法设也。若米盐零杂之事，而概欲以代数施之，未有不为市侩所笑者也。至于代数、天元之异同优劣，读此书者自能知之，无待余言也。”
又与傅兰雅共译微积溯源八卷，序之曰：“吾以为古时之算法，惟有加、减而已。其乘与除乃因加减之不胜其繁，故更立二术以使之简易也。开方之法，又所以济除法之穷者也。盖学算者自有加、减、乘、除、开方五法，而一切简易浅近之数，无不可通矣。惟人之心思智虑日出不穷，往往以能人之所不能者为快，遇有窒碍难通之处，辄思立法以济其穷，故有减其所不可减，而正负之名不得不立矣；除其所不受除，而寄母通分之法又不得不立矣。代数中种种记号之法，皆出于不得已而立者也。惟每立一法，必能使繁者为简，难者为易，迟者为速，而算学之境界，藉此得更进一层。如是屡进不已，而所立之法，于是乎日多矣。微分、积分者，盖又因乘、除、开方之不胜其繁，且有窒碍难通之处，故更立此二术以济其穷，又使简易而速者也。试观圜径求周、真数求对数之事，虽无微分、积分之时，亦未尝不可求，惟须乘、除、开方数十百次，其难有不可言喻者。不如用微积之法，理明而数捷也。然则谓加、减、乘、除、代数之外，更有二术焉，一曰微分，一曰积分可也。其积分犹微分之还原，犹之开方为自乘之还原，除法为乘法之还原，减法为加法之还原也。然加与乘，其原无不可还，而微分之原，有可还有不可还者，是犹算式中有不可还原之方耳，又何怪焉！如必曰加减乘除开方已足供吾之用，何必更求其精？是舍舟车之便利，而必欲负重远行也。其用力多而成功少，盖不待智者而辨矣。又代数术中末卷之中，载求平员周率简捷法式，为犹拉所设。未有此法之时，曾有算学士固灵用平员内容外切之多等边形，费极大工夫，算得三十六位之数。设径为一，周为三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三二七九五零二八八。其临死之时，嘱其家以此数刻于墓碑，盖平时得意之作，恐其磨灭，故欲传之永久，亦犹亚基默得之墓，刻一球形与员柱形也。”
又与傅氏共译三角数理，此书为英士海麻士所譔。海麻士专精三角、八线之学，著书十有二卷，皆言三角数理，即用为名。首明三角用比例之理；次论两角或多角诸比例数；次论造八线比例表之法；次解平三角诸形；次论诸角比例乘约变化之理；纪彼国算士棣弗美创例也，附以专论对数术及诸三角形设题一百则，为书三卷，以引学者；次总说球上各圈及弧三角形之界；次解正弧斜弧三角形之法；次杂论求弧三角数种特设之表；终以弧三角形设题二十七则焉。然书中说解过于烦费，仍不能变外角和较与垂弧、次形、总较诸旧法，故自海氏书出，益觉徐有壬拾遗三术难能可贵，超越西人。
又与傅氏共译代数难题解法十六卷。
其弟世芳，字若溪。亦通算术，著有近代畴人著述记。
章中之切于日用者，悉以比例驭之，汇为十二种。以各定率冠首，以借根方继后，以诸乘方开法附末，凡四卷，曰比例汇通，虽悔其少作，实便初学问途。
后见四元玉鉴，服膺叹绝，遂壹意专精四元之术。士琳博文强识，兼综百家，于古今算法尤具神解，以硃氏此书实集算学大成，思通行发明，乃殚精一纪，步为全草，并有原书于率不通及步算传写之譌，悉为标出，补漏正误，反覆设例，申明疑义，推演订证。就原书三卷二十有四门，广为二十四卷，门各补草。
尝为提要钩元之论，谓：“是书通体弗出九章范围，不独商功修筑、句股测望、方程正负已也。如端匹互隐、廪粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛叠藏，如像招数寓商功中之差分，直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分，方员交错、三率究员、箭积交参之为定率兼交互。至于或问歌彖、杂范类会，以其各自为法，不能比类。故一则寄诸歌词，一则编成杂法，均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问，每门必备此例，略简易而详繁难，尤于自来算书所无者，必设二问以明之。如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金田，锁套吞容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠藏两设员锥垛，杂范类会既设徽率割员，又设密率割员是矣。更有一门专明一义者，如和分索隐之分开方，三率究员两仪合辙之反覆互求是矣。是书但云如积求之，如积有用定率为同数相消者，有如问加减乘除得积为同数相消者。祖序谓：‘平水刘汝谐撰如积释锁，惜今不传。’意者其释此例欤？”
道光中，得硃氏算学启蒙于京师厂肆，士琳复加斠诠刊布之。此书总二十门，凡二百五十九问，其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠，始于天元，终于四元，义主精邃，所得甚深。考大德四年莫若序，计后此书四年。此书首列乘除布算诸例，始于超径等接之术，终于天元如积开方，由浅近以至通变，循序渐进，其理易知。名曰启蒙，实则为玉鉴立术之根，此一证也。玉鉴原本十行，行十九字“今有”低一格“术曰”又低二格，与此书同，此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“？”此假借字，本汉书平帝纪及管子乘马篇，尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经，钧石之“石”说文本作“柘”玉鉴作“硕”“硕”“石”古虽互通，然假“硕”为“石”则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志，而算书罕见，又玉鉴？田之“？”虽见李籍九章音义，为字书所无，此书并同，此三证也。玉鉴虽亦三卷，而门则为二十四，问则二百八十八，较多此书四门二十九问，然以四字分类，其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属，则又二书互见，此四证也。玉鉴如意混和第一问，据数知一秤为十五斤，適与此书之斤秤起率合，此五证也。玉鉴锁套吞容第九问，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问，有小平小长，皆向无其术。此书卷首明乘除段，即载平除长为小长，长除平为小平之例。其田亩形段第十五问，复载方五斜七八角田求积通术，此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问，与此书盈不足术第七问，又玉鉴果垛叠藏第十四问，与此书堆积还原第十四问，又玉鉴方程正负第四问，与此书方程正负第五问，题皆约略相同，此七证也。知系硃氏原书佚而复出，并其算法一则，亦为附列，间有鱼豕，悉仍其旧，但各标识于误字旁，别记刊误于卷末。
又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表，一度十三分二十秒正切第五字“0”误“一”；又六度四十一分十秒正切第五字“0”误“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“0”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”可见西人所能，中人亦能之。
又因会通四元玉鉴如像招数一门，更取明氏捷法，御以天元，知密率亦可招差，其弧与弦矢互求之法，与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传，其法廑见于秦书，即大衍之连环求等递减递加，亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意，撰缀术辑补二卷。
又甄录古今畴人，仍阮氏体例为列传，采前传所未收者，得补遗十二人，附见五人，续补二十人，附见七人，合共四十有四人，次于前传四十六卷之后。
集所校著都为观我生室汇？十二种。如四元玉鉴细草二十四卷，释例二卷，校正算学启蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，续畴人传六卷，皆别有单行本。
外已刻者尚得七种，曰句股容三事拾遗三卷，附例一卷，本绘亭监副博启法补其遗，取内容方边员径垂线交互相求，一以天元驭之。曰三角和较算例一卷，取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法，用和较推演成式。曰演元九式一卷，括玉鉴中进退消长诸例，借无数之数，以正负开方式入之。曰台锥积演一卷，以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙，爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷，以四分周术佐以三统汉术，推得宣王十有六年九月既望甲戌，与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷，以元和李四香原术未备，为增补二十七术，合成四十术。曰推算日食增广新术一卷，推广正升斜升横升之算法，以求太阴随地随时之明魄方向分秒，复推其术，以求交食限内之方向，及所经历之诸边分。
馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话，凡若干卷，未有刻本。其同县友有易之瀚者，亦以算名。
易之瀚，字浩川。知士琳有四元玉鉴补草，因从问难，为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则，天元例十一则，四元例十三则。
顾观光，字尚之，金山人。太学生，三试不售，遂无志科举，承世业为医。乡钱氏多藏书，恆假读之。博通经、传、史、子、百家，尤究极天文历算，因端竟委，能抉其所以然，而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙，蒐补其未备。如据周髀“笠以写天，青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云，而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员，以视法变为平员，则不得不以北极为心，而内外衡以次环之，皆为借象，而非真以平员测天也。
开元占经鲁历积年之算不合，因用演积术，推其上元庚子至开元二年岁积，知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪，知其术虽起立春，而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首，闰在岁终，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家，以为未能推算入微。爰别立术，以日法朔馀？展转相减，以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求，惟朔馀过于强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩，梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差，彼此递减，必得一齐同之数。引而伸之，即诸乘差，则八线、对数、小轮、橢员诸术，皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术，知回回、太西历法皆源于此。其所谓高月者即月孛，月藏者即月引数，日藏者即日引数，特称名不同，亦犹回历称岁实为宫日数，朔策为月分日数也。
其论婺源江氏冬至权度，推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度，而后求两心差，乃专用壬戌。今用丁未求得两心差，適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端，其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距，术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距，不必更资实朔，较本法为简而密矣。
西人割圜，止知内容各等边之半为正弦，而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术，别立求外切各等边之正切法，以补其缺。杜德美求员周术，用员内容六边形起算，巧而降位稍迟，谓内容十等边之一边，即理分中末线之大分，距周较近。且十边形之边与周同数，不过递进一位，而大分与全分相减即得小分，则连比例各率，可以较数取之。入算尤简易，可用弧度入算，不用弧背真数。然犹虑其难记，仍不能无藉于表，因又合两法用之，则术愈简，而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术，止有弦矢求馀线术，以为可通之割、切二线，因补其术。西人求对数，以正数屡次开方，对数屡次折半，立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆，捷矣，而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较，可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙，又有新术，而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数，因任意设数，立六术以御之，得数皆合。复立还原四术，并推衍为和较相求八术，为自来言对数者所未有也。又谓对数之用，莫便于八线，而西人未言其立表之根，因冥思力索，仍用诸乘方差，迎刃而解，尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术，如代数、微分、诸重学，皆有所纠正，类此。
所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古，依九章分为九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉，皆采古书而分门隶之。曰九数外录，则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学，凡记十篇。曰六历通考，则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解，曰回回历解，皆就原法疏通证明之。曰推步简法，曰新历推步简法，曰五星简法，则就原术改度为百分，省迂回而归简易，盖于学实事求是，无门户异同之见，故析理甚精，而谈算为最云。其友人韩应陛，亦以表章算书显。
应陛，字对虞，娄县人。道光二十四年举人，官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子，为文古质简奥，非时俗所尚。既而从同里姚椿游，得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学，为几何原本，凡十五卷，明万历间利译止前六卷。咸丰初，英人伟烈亚力续译后九卷，海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订，授之剞劂，亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学，应陛推极其致，往往为西人所未及云。
左潜，字壬叔，大学士宗棠从子。补县学生。于诗、古文辞无不深造，尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒，士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法，无不贯通。且能自出己意，变其式，勘其误，作为图解，往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术，既成，忽悟通分捷法析分母、分子为极小数，根同者去之，凡多项通分，顷刻立就。因演数草，为通分捷法一帙。
所譔缀术补草四卷，自序曰：“自泰西杜德美创立割圜九术，以屡乘屡除通方圜之率，我朝明氏、董氏各为之说，而杜书之义，推阐靡遗。顾八线互求，尚无通术，未足以尽一圜之变，非明氏、董氏之智力，不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也，资于借根方；其不能广杜氏之法也，亦限于借根方。盖借根方即天元一之变术，究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明，又旁参以董氏之法，八线相求，各立一式，因式立法，因法入算。乡之不可立算者，今皆能驭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，则能济法之穷；而度圜诸线，一以贯之矣。推其立式之由，所谓比例术，即明氏定半径为一率，所有为二率或三率之法也。所谓还原术，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所谓借径术，即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数，求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法，又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏，而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者，以借根方取两等数，其分母、分子杂糅繁重，既不可通，其多号、少号，？展转互变，又不可约。试取明氏书驭之以缀术，其递降各率，顷刻可求。则是书也，其真能因法立法，别树帜于明、董之后者欤？书为徐君青先生所作，吴君子登成之，顾详于式而略于草。敬考其立法之原，不可遽得，学者难焉，潜因于暇日为补草四卷，因缀数语于简端云。”
又譔缀术释明二卷，湘乡曾纪鸿为之序，略曰：“易系云：‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定，莫数若矣。在昔圣神，制器尚象，利物前民，于数理必有究极精微，范围后世者，代久年湮，渐至失传。近三百年，泰西犹能推阐古法，而中国才智之士，或反率其成辙。孔子曰：‘天子失官，学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术，而未标角度八线钤表，则虽有用其理以入算者，而无表可检。则每求一数，必百倍其功，而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表，覈其立法得数之原，甚属繁难，而成表之后，一劳永逸。大至无外，细及极微，莫不以此表测之，则其用之广大可想。然得表之后，虽无事于再求，而任举一数，无从较其讹误。若仍用旧术，则非月经旬，不能得一数，此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者，例用六宗、三耍、二简各法，若任言一弧，必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法，则但有弧径，而八线均可求。董方立解杜术，先取其线之极微者，令与与弧线合，而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合，故用尖锥以释弧矢，而弧矢之数理以显。明静菴解杜术，先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者，用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者，考其乘除之率数，与杜术乘除之原理合，故用缀术以释弧矢，而弧矢之数理亦出。董、明二氏，均为弧矢不祧之宗，无庸轩轾。迩百年中继起者，如戴、徐、李三氏所著书，虽自出心裁，要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟，于数学尤孜孜不倦，遇有疑难，必穷力追索，务洞澈其奥窔。尝谓方员之理，乃天地自然之数，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术，又释戴鄂士求表捷术，兹又释明静菴弧矢捷术，而一贯以天元寄分之式，于员率一道三致意焉，可谓勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟于甲戌秋不永年而逝，凡在同人，无不叹惜！况余与之为两世神交，安能无怆切耶！”
曾纪鸿，字栗诚，大学士国籓少子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学，与兄纪泽并精算术，尤神明于西人代数术。锐思勇进，创立新法，同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求，依题演之，理正相通，撰对数详解五卷，始明代数之理，为不知代数者开其先路。中言对数之理，末言对数之用，明作书之本意。其于常对、讷对，辨析分明。先求得各真数之讷对，复以对数根乘之，即为常对数。级数朗然，有条不紊，虽初学循序渐进，无不可相说以解焉。
夏鸾翔，字紫笙，钱塘人。以输饷议叙，得詹事府主簿。为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术，洞悉员出于方之理。汇通各法，推演以尽其变，譔洞方术图解二卷，自序略曰：“自杜氏术出，而求弦矢得捷径焉。顾犹烦乘除，演算终不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都门，细思连比例术者，尖堆底也。尖堆底之比例，与诸乘方之比例等。以之求连比例术，必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故，方积何能并求？且并求方积而欲以加减代乘除，又必得诸较自然之数而后可，诚极难矣。既而悟曰，方积之递加，加以较也。较之递生，生于三角堆也。较加较而成积，亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数，数异而理同。三角堆起于三角形，故屡次增乘，皆增以三角。方积起于正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之较数，增一根则增一较；方积之较数，增一乘则增一较，理正同也。累次相较，较必有尽，惟其有尽，乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者，正此理矣。诸较之理，皆起于天元一，而生于根差。递加根一，诸乘方根差皆一。一乘之数不变，故可省乘。若增其根差，非复单一，则乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧线当根差，按根递求，即可尽得诸乘方之较。以较加较，即尽得所求弦矢各数矣，岂不捷哉！爰演为求弦矢术，俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义，以俟精于术数者采择。”
又譔致曲术一卷，曰平员，曰橢员，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。类皆自定新术，参差并列，法密理精。复著致曲图解一卷，谓天为大员，天之赋物，莫不以员。顾员虽一名，形乃万类。循员一匝，而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类，一次式为直线；二次式有平员、橢员、抛物线、双曲线四式；三次式有八十种；四次式有五千馀种；五次以上，殆难以数计矣。今但二次式四种，溯其本源，并附解诸乘方。抛物线形虽万殊，理实一贯。诸曲线式备具于员锥体，员锥者，二次曲线之母也。橢员利用聚，抛物线利用远，双曲线利用散，其理皆出于平员。苟会其通，则制器尚象，仰观俯察，为用无穷矣。今为一一解之，其目为诸曲线始于一点终于一点第一，诸式之心第二，准线第三，规线第四，横直二径第五，兑径亦名相属二径第六，两心差第七，法线切线第八，斜规线又名曲率径第九，纵横线式第十，诸式互为比例第十一，八线第十二。
又尝立捷术以开各乘方，不论益积、翻积，通为一术，俱为坦途，可径求平方根数十位，成少广縋凿一卷。
鸾翔同治三年卒。因方积之较而悟求求弦矢之术，骎骎乎驾西人而上之，然微分所弃之常数，犹方积之方与隅也。所求之变数，犹两廉递加之较也。其术施之曲线，无所不通，鸾翔犹待逐类立术，是则不能不让西人以独步。然西法开方，自三次式以上，皆枝枝节节为之，不及中法之一贯。鸾翔又于中法外独创捷术，非西人所能望其项背云。
邹伯奇，字特夫，南海诸生。聪敏绝世，覃思声音文字度数之源。尤精天文历算，能荟萃中、西之说而贯通之，静极生明，多具神解。尝作春秋经传日月考，谓：“昔人考春秋者多矣，类以经、传日月求之，未能精确。今以时宪术上推二百四十二年之朔闰及食限，然后以经、传所书，质其合否，乃知有经误、传误及术误之分。”又谓：“尚书克殷年月，郑玄据乾凿度，以入戊午蔀四十二年克殷，下至春秋，凡三百四十八年。刘歆三统术以为积四百年，近人钱塘李锐皆主其说。今以时宪术上推，且以岁星验之，始知郑是刘非。”其解孟子“由周而来，七百有馀岁”句，谓阎百诗孟子生卒年月考据大事记及通鉴纲目，以孟子致为臣而归在周赧王元年丁未，逆数至武王有天下，岁在己卯，当得八百有九年。然周共和以上年数，史迁已不能纪，可考者鲁世家耳，此为刘歆历谱所据。然将歆谱与史记比对，歆于炀公、献公等年分多所加，共计五十二。若减其所加，则歆所谓八百有九年者，实七百五十七年耳。
又谓向来注经者，于算学不尽精通，故解三礼制度多疏失，因作深衣考，以订江永之谬。作戈戟考，以指程瑶田之疏。以文选景福殿赋“阳马承阿”证古宫室阿栋之制。以体积论樐氏为量，以重心论悬磬之形，皆绘图立说，援引详明。
又尝谓群经注疏引算术未能简要，甄鸾五经算术既多疏略，王伯厚六经天文篇博引传注，亦无辨证。因即经义中有关于天文、算术，为先儒所未发，或发而未阐明者，随时录出，成学计一得二卷。
天象著甲寅恆星表、赤道星图、黄道星图各一卷，自序略曰：“甲寅春，制浑球，以考证经史恆星出没历代岁差之故。然制器必先绘图，绘图必先立表，此恆星表之所由作也。史、汉、晋、隋诸志，于恆星但言部位，至唐、宋始略有去极度数，盖旧传新图，大抵据步天歌意想为之，与天象不符。国朝康熙初，南怀仁作灵台仪象志，然后黄、赤经、纬各列为表。乾隆九年，增修仪象考成，补正缺误。道光甲辰，再加考测，为仪象考成续编，入表正座一千四百四十九星，外增一千七百九十一星，洵为明备。今逾十载，岁渐有差，故复据现时推测立表，庶绘图制器密合天行也。”
又谓：“绘地难于算天，天文可坐而推，地理必须亲历。近人不知古法，故疏舛失实。因考求地理沿革，为历代地图，以补史书地志之缺。”
又手摹皇舆全图，自序略曰：“地图以天度画方，至当不易。地球经纬相交皆正角，而世传舆图，至边地竟成斜方形，殊失绘图原理，其蔽在以纬度为直线也。昔尝为小总图，依浑盖仪，用半度切线，以显迹象。然州县不备，且内密外疏，容与实数不符，故复为此图。其格纬度无盈缩，而经度渐狭，相视皆为半径与馀弦之比例。横九幅，纵十一幅，合成地球滂沱四颓之形，欲使所绘之图与地相肖也。
又变西人之旧，作地球正变两面全图，其序略曰：“地形浑员，上应天度，经纬皆为员线。作图者绘浑于平，须用法调剂，方不失其形似。然视法有三，其一在员外视员，法用正弦，则经圈为橢员，纬圈为直线，其形中广旁狭，作简平仪用之。其一在员心视员，法用正切，则经圈为直线，纬圈为弧线，其形中曲旁杀，内密外疏，作日晷用之。斯二者，线无定式，量算繁难。且经纬相交，不成正角。其边际或太促褊，或太展长，以画地球，既昧方斜本形，复失修广实数，所不取也。其一在员周视员，法用半切线，经纬圈皆为平员，虽亦内密外疏，而各能自相比例，西人以此作浑盖仪，最为理精法密。今本之为地球图，分正背两面。正面以京师为中线，其背面之中，即为京师对冲之处，尊首都也。旁分二十四向，审中土与各国彼此之势，定准望也。经纬俱以十度为一格，设分率也。”
因推演其法，著测量备要四卷，分备物致用、按度考数二题。备物致用其目四：一丈量器，曰插标、曰线架、曰指南尺、曰曲尺、曰丈竹、曰竹筹、曰皮活尺、曰蕃纸簿、曰铅笔；二测望仪，曰指南分率尺、曰立望表、曰三脚架、曰矩尺、曰地平经仪、曰平水准、曰纪限仪、曰回光环、曰折照玻璃屋、曰千里镜、曰象限仪、曰秒分时辰标、曰行海时辰标、曰析分大日晷、日风雨针、曰寒暑针；三检覈书，曰志书、曰地图、曰星表、曰星图、曰度算版、曰对数尺、曰八线表、曰八线对数表、曰十进对数表，曰现年行海通书、曰清蒙气差表、曰太阳纬度表、曰日晷时差表、曰句陈四游表、曰大星经纬表、曰对数较表、曰对数较差表；四画图具，曰大小幅纸、曰砚、曰墨、曰硃、曰颜色料、曰笔、曰五色铅笔、曰笔壳、曰指南分率矩尺、曰长短界尺、曰平行尺、曰分微尺、曰机翦、曰交连比例规、曰玻璃片、曰橡皮。
按度考数其目四：一明数，曰尺度考、曰亩法、曰里法、曰方向法、曰经纬里数；二步量，曰量田计积、曰步地远近、曰记方向曲折、曰认山形、曰准望所见；三测算，曰测量方向远近法、曰测地纬度法、曰论平阳大海地平界角、曰测地经度法、曰经纬方向里数互求法；四布图，曰正纸幅、曰定分率、曰缩展、曰识别设色。
又因修改对数表之根求析小术，是开极多乘方法，可径求自然对数，即讷对数，以十进对数根乘之即得十进对数，著乘方捷术三卷。
又创对数尺，盖因西人对数表而变通其用，画数于两尺，相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数。一曰形制，二曰界画，三曰致用，四曰诸善，五曰图式，为记一卷。
又尝撰格术补一卷，同郡陈澧序之，略曰：“格术补者，古算家有格术，久亡，而吾友邹徵君特夫补之也。格术之名，见梦溪笔谈，其说云：‘阳燧照物，迫之则正，渐远则无所见，过此则倒，中间有碍故也。如人摇舻，臬为之碍，本末相格，算家谓之格术。’又云：‘阳燧面洼，向日照之，则光聚向内，离镜一二寸，聚为一点，著物火发。’笔谈之说，皆格术之根源也。宋以前盖有推演为算书者，后世失传，遂无有知此术者。徵君得笔谈之说，观日光之景，推求数理，穷极微眇，知西人制镜之法皆出于此。乃为书一卷，以补古算家之术。盖古所谓阳燧者，铸金以为镜也，西洋铁镜，即阳燧，玻璃为镜，亦同此理。故推阳燧之理，可以贯而通之。有此书而古算家失传之法复明，可知西人制器之法，实古算家所有，此今世之奇书也。至若古算失传，如此者当复不少，吾又因此而感慨系之矣！”
同治三年，郭嵩焘特疏荐之，坚以疾辞。曾国籓督两江日，欲以上海机器局旁设书院，延伯奇以数学教授生徒，亦未就。八年五月，卒，年五十有一。
李善兰，字壬叔，海宁人。诸生。从陈奂受经，于算术好之独深。十岁即通九章，后得测圆海镜、句股割圜记，学益进。疑割圜法非自然，精思得其理。尝谓道有一贯，艺亦然。测圆海镜每题皆有法有草，法者，本题之法也；草者，用立天元一曲折以求本题之法，乃造法之法，法之源也。算术大至躔离交食，细至米盐琐碎，其法至繁，以立天元一演之，莫不能得其法。故立天元一者，算学中之一贯也。并时明算如钱塘戴煦，南汇张文虎，乌程徐有壬、汪曰桢，归安张福僖，皆相友善。咸丰初，客上海，识英吉利伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人，伟烈亚力精天算，通华言。善兰以欧几里几何原本十三卷、续二卷，明时译得六卷，因与伟烈亚力同译后九卷，西士精通几何者尟，其第十卷尤玄奥，未易解，譌夺甚多，善兰笔受时，辄以意匡补。译成，伟烈亚力叹曰：“西士他日欲得善本，当求诸中国也！”
伟烈亚力又言美国天算名家罗密士尝取代数、微分、积分合为一书，分款设题，较若列眉，复与善兰同译之，名曰代微积拾级十八卷。代数变天元、四元，别为新法，微分、积分二术，又借径于代数，实中土未有之奇秘。善兰随体剖析自然，得力于海镜为多。
粤匪陷吴、越，依曾国籓军中。同治七年，用巡抚郭嵩焘荐，徵入同文馆，充算学总教习、总理衙门章京，授户部郎中、三品卿衔。课同文馆生以海镜，而以代数演之，合中、西为一法，成就甚众。光绪十年，卒于官，年垂七十。
善兰聪彊绝人，其于算，能执理之至简，驭数至繁，故衍之无不可通之数，抉之即无不可穷之理。所著则古昔斋算学，详艺文志。世谓梅文鼎悟借根之出天元，善兰能变四元而为代数，盖梅氏后一人云。
华衡芳，字若汀，金匮人。能文善算，著有行素轩算学行世。其笔谈一书，犹为生平精力所聚。凡十二卷，第一卷论加、减、乘、除之理；第二卷论通分之理；第三卷论十分数；第四卷论开方之理；第五卷论看题、驭题之法，以明加、减、乘、除、通分、开方之用；第六卷论天元及天元开方；第七卷论方程之术，已寓四元之意，末乃专论四元；第八卷论代数释号及等式；第九卷论代数中助变之数及虚代之法；第十卷论微分；第十一卷论积分，分十六款以明之；第十二卷一论各种算学不外乎加、减、乘、除，二论一切算稿宜笔之于书，三论算学中可以著书之事，四论学算与著书并非两事，五论繙算学之书，六论畴人传当再续。综计自加、减、乘、除、通分以至微分、积分，由浅入深，术本繁难，而括之以简易之旨；理本艰深，而写之以浅显之词。
又于同治十三年，与英士傅兰雅共译代数术二十五卷，衡芳序之曰：“代数之术，其已知、未知之数，皆代之以字，而乘、除、加、减各有记号，以为区别，可如题之曲折以相赴。迨夫层累已明，阶级已见，乃以所代之数入之，而所求之数出焉。故可以省算学之工，而心亦较逸，以其可不假思索而得也。虽然，代数之术诚简便矣，试问工此术者，遂能不病其繁乎？则又不能也。夫人之用心，日进而不已，苟不至昏眊迷乱，必不肯终辍。故始则因繁而求简，及其既简也，必更进焉，而复遇其繁，虽迭代数十次，其能免哉？自是知代数之意，乃为数学中钩深索隐之用，非为浅近之算法设也。若米盐零杂之事，而概欲以代数施之，未有不为市侩所笑者也。至于代数、天元之异同优劣，读此书者自能知之，无待余言也。”
又与傅兰雅共译微积溯源八卷，序之曰：“吾以为古时之算法，惟有加、减而已。其乘与除乃因加减之不胜其繁，故更立二术以使之简易也。开方之法，又所以济除法之穷者也。盖学算者自有加、减、乘、除、开方五法，而一切简易浅近之数，无不可通矣。惟人之心思智虑日出不穷，往往以能人之所不能者为快，遇有窒碍难通之处，辄思立法以济其穷，故有减其所不可减，而正负之名不得不立矣；除其所不受除，而寄母通分之法又不得不立矣。代数中种种记号之法，皆出于不得已而立者也。惟每立一法，必能使繁者为简，难者为易，迟者为速，而算学之境界，藉此得更进一层。如是屡进不已，而所立之法，于是乎日多矣。微分、积分者，盖又因乘、除、开方之不胜其繁，且有窒碍难通之处，故更立此二术以济其穷，又使简易而速者也。试观圜径求周、真数求对数之事，虽无微分、积分之时，亦未尝不可求，惟须乘、除、开方数十百次，其难有不可言喻者。不如用微积之法，理明而数捷也。然则谓加、减、乘、除、代数之外，更有二术焉，一曰微分，一曰积分可也。其积分犹微分之还原，犹之开方为自乘之还原，除法为乘法之还原，减法为加法之还原也。然加与乘，其原无不可还，而微分之原，有可还有不可还者，是犹算式中有不可还原之方耳，又何怪焉！如必曰加减乘除开方已足供吾之用，何必更求其精？是舍舟车之便利，而必欲负重远行也。其用力多而成功少，盖不待智者而辨矣。又代数术中末卷之中，载求平员周率简捷法式，为犹拉所设。未有此法之时，曾有算学士固灵用平员内容外切之多等边形，费极大工夫，算得三十六位之数。设径为一，周为三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三二七九五零二八八。其临死之时，嘱其家以此数刻于墓碑，盖平时得意之作，恐其磨灭，故欲传之永久，亦犹亚基默得之墓，刻一球形与员柱形也。”
又与傅氏共译三角数理，此书为英士海麻士所譔。海麻士专精三角、八线之学，著书十有二卷，皆言三角数理，即用为名。首明三角用比例之理；次论两角或多角诸比例数；次论造八线比例表之法；次解平三角诸形；次论诸角比例乘约变化之理；纪彼国算士棣弗美创例也，附以专论对数术及诸三角形设题一百则，为书三卷，以引学者；次总说球上各圈及弧三角形之界；次解正弧斜弧三角形之法；次杂论求弧三角数种特设之表；终以弧三角形设题二十七则焉。然书中说解过于烦费，仍不能变外角和较与垂弧、次形、总较诸旧法，故自海氏书出，益觉徐有壬拾遗三术难能可贵，超越西人。
又与傅氏共译代数难题解法十六卷。
其弟世芳，字若溪。亦通算术，著有近代畴人著述记。